Question

9．已知函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+cos（2x-\frac{π}{6}），x∈R$．
（1）求$f（\frac{π}{4}）$的值；
（2）求函数f（x）的值域和单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）通过三角函数的恒等变换把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（2）利用（1）的函数的解析式，利用整体思想求函数的单调区间．

解答 解：（1）$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+cos（2x-\frac{π}{6}）$
=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x$
=2（$\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$）
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
所以：f（$\frac{π}{4}$）=2sin（$\frac{π}{2}+\frac{π}{3}$）=1；
（2）由于f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
所以函数f（x）的值域为：[-2，2]．
令：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
整理得：$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤kπ+\frac{π}{12}$（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为：[$-\frac{5π}{12}+kπ，kπ+\frac{π}{12}$]（k∈Z）．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的值域，利用整体思想求函数的单调区间，主要考查学生的应用能力．