Question

16．已知首项为正数的等差数列{a_n}中，a₁a₂ =-6，则当a₄取最大值时，数列{a_n}的通项公式a_n=-5n+8，n∈N^*．

Answer 1

分析 等差数列的定义与通项公式，表示出a₄，利用基本不等式求出a₄的最大值以及取最大值时a₁、a₂的值，从而求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：在等差数列{a_n}中，a₁＞0，且a₁a₂ =-6，
∴a₂=-$\frac{6}{{a}_{1}}$，d=a₂-a₁=-$\frac{6}{{a}_{1}}$-a₁；
∴a₄=a₁+3d=a₁-3（$\frac{6}{{a}_{1}}$+a₁）=-（$\frac{18}{{a}_{1}}$+2a₁）≤-2$\sqrt{\frac{18}{{a}_{1}}•{2a}_{1}}$=-12，
当且仅当a₁=3时，“=”成立，
∴a₄取最大值时，a₁=3，a₂=-2，d=-5；
∴数列{a_n}的通项公式为
a_n=3+（n-1）×（-5）=-5n+8，n∈N^*．
故答案为：=-5n+8，n∈N^*．

点评 本题考查了等差数列的定义与通项公式的应用问题，是基础题目．