题目内容

已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1   (a＞b＞0)过点A(0，
2
)且它的离心率为
3
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）已知动直线l过点Q（4，0），交轨迹C2于R、S两点．是否存在垂直于x轴的直线m被以RQ为直径的圆O1所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．
（1）因为椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点A(0，
2
)，所以b=
2
，b2=2，
又因为椭圆C1的离心率e=
3
3
，所以e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
3
，解得a2=3．
所以椭圆C1的方程是
x2
3
+
y2
2
=1；
（2）因为线段PF2的垂直平分线交l2于点M，
所以|MP|=|MF2|，即动点M到定直线l1：x=-1的距离等于它到定点F2（1，0）的距离，
所以动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，
所以点M的轨迹C2的方程为y2=4x；
（3）设R（x1，y1），假设存在直线m：x=t满足题意，则圆心O1(
x1+4
2
，
y1
2
)，
过O1作直线x=t的垂线，垂足为E，设直线m与圆O1的一个交点为G．
可得：|EG|2=|O1G|2-|O1E|2=|O1Q|2-|O1E|2，
即|EG|2=|O1Q|2-|O1E|2=
(x1-4)2+
y21
4
-(
x1+4
2
-t)2
=
1
4
y21
+
(x1-4)2-(x1+4)2
4
+t(x1+4)-t2
=x1-4x1+t(x1+4)-t2=(t-3)x1+4t-t2，
当t=3时，|EG|2=3，此时直线m被以RQ为直径的圆O1所截得的弦长恒为定值2
3
．
因此存在直线m：x=3满足题意．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
5
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，
1
7
）时，求直线AC的方程；
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
精英家教网已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一条准线方程是x=
25
4
，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
（2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连接AP交椭圆C1于点M，连接PB并延长交椭圆C1于点N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，直线l：y=x+2
2
与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程．
（Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2=
0.5
0.5
．
（2013•汕头一模）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
1
2

（1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
（2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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