Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=.

（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）设PM="t" MC，若二面角M-BQ-C的平面角的大小为30°，试确定t的值.

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．
（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC= AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．
法二：由AD∥BC，BC=
AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．
解：（I）方法一∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．    
∵∠ADC=90°   ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．又
∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD， 
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．  ……………………6分
方法二：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点， ∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．
∵ ∠ADC=90°   ∴∠AQB=90°． ∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD．
∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． ∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…………6分
（II）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为；
，，
，．
设，则，，
∵，
∴ ，  
∴   ………………9分
在平面MBQ中，，，
∴ 平面MBQ法向量为．       
∵二面角M-BQ-C为30°，，
∴ ．      …………………………12分