题目内容

1.如图,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,且∠BAD=∠ADC=90°,E,F,G分别为PA,PB,PC的中点,直线PB⊥平面EFG,AB=$\frac{1}{3}$DC=$\frac{1}{3}AD$=1.
(1)若点M∈平面EFG,且与点E不重合,判断直线EM与平面ABCD的关系,并说明理由;
(2)若PB=4,求四棱锥C-ABFE的体积.

分析 (1)利用三角形中位线的性质结合面面平行的判定定理得到面EFG∥面ABCD,然后可得直线EM∥平面ABCD;
(2)C到平面ABEF的距离为AD=3,梯形ABEF中,EF=$\frac{1}{2}$,AB=1,高BF=2,面积为$\frac{1}{2}•(\frac{1}{2}+1)×2$=$\frac{3}{2}$,直接代入棱锥的体积得答案.

解答 解:(1)如图,直线EM∥平面ABCD.
事实上:
∵E,F,G分别为PA,PB,PC的中点,
∴EF∥AB,FG∥BC,EF∩FG=F,AB∩BC=B,
∴平面EFG∥平面ABC,
∵点M∈平面EFG,且与点E不重合,∴直线EM∥平面ABCD;
(2)∵直线PB⊥平面EFG,∴C到平面ABEF的距离为AD=3
梯形ABEF中,EF=$\frac{1}{2}$,AB=1,高BF=2,面积为$\frac{1}{2}•(\frac{1}{2}+1)×2$=$\frac{3}{2}$,
∴四棱锥C-ABFE的体积V=$\frac{1}{3}•\frac{3}{2}•3$=$\frac{3}{2}$.

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题.

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