题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,抛物线
的准线为
,其焦点为F,点B是抛物线C上横坐标为
的一点,若点B到
的距离等于
.
(1)求抛物线C的方程,
(2)设A是抛物线C上异于顶点的一点,直线AO交直线于点M,抛物线C在点A处的切线m交直线
于点N,求证:以点N为圆心,以
为半径的圆经过
轴上的两个定点.
【答案】(1);(2)定点
,
【解析】
(1) 由题意,得,则△BOF为等腰三角形,求出线段OF的中点的横坐标即可得到抛物线C的方程;
(2) 设切线m的方程为:,联立方程,借助韦达定理可得
,再求出
,表示以
为半径的圆的方程即可得到两个定点.
(1)由题意,得,则△BOF为等腰三角形,
因为点B的横坐标为,所以线段OF的中点的横坐标为
,
从而点F的横坐标为1,即,所以p=2,
故所求抛物线C的方程为;
(2)证明:设切线m的方程为:,由
(*)
由题意知,即
所以方程(*)的根为 ,从而
,
直线OA的方程为
由,得
,由
,得
,
所以以点N为圆心,以为半径的圆的方程为
,
令,得
,解得
,
所以圆N经过x轴上的两个定点和
.
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