Question

6．己知直线l：（a-1）x+y+a+1=0及定点A（3，4）．
（1）问a为何值时，直线l过点A（3，4）？
（2）直线l恒过定点B，求点B的坐标；
（3）问a为何值，点A到直线l的距离最大？并求最大距离．

Answer 1

分析 （1）直线l过点A（3，4），代入直线方程，可求a；
（2）由ax-x+y+a+1=0，可得a（x+1）=x-y-1，解方程组，求点B的坐标；
（3）AB和l垂直时距离最大．

解答 解：（1）∵直线l过点A（3，4），
∴3（a-1）+4+a+1=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$；
（2）由ax-x+y+a+1=0，可得a（x+1）=x-y-1
当x+1=0且x-y-1=0时等式一定成立，
∴x=-1，y=-2，
∴l过定点B（-1，-2）；
（3）AB和l垂直时距离最大，最大距离为$\sqrt{（3+1）^{2}+（4+2）^{2}}$=2$\sqrt{13}$，AB斜率=$\frac{3}{2}$，
∴l斜率是-$\frac{2}{3}$，
∵（a-1）x+y+a+1=0，
∴y=-（a-1）x-a-1
∴斜率=-（a-1）=-$\frac{2}{3}$，
∴a=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查直线过点，考查两点间距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．