题目内容

已知x,y满足约束条件
x-y+6≥0
x+y≥0
x≤3

(1)求z=2x-y的最小值;
(2)求z=
x2+y2+4x+2y+5
的最小值和最大值;
(3)求z=
x+y-5
x-4
的取值范.
(1)由z=2x-y,得y=2x-z,作出约束条件
x-y+6≥0
x+y≥0
x≤3
对应的可行域(阴影部分),
平移直线y=2x-z,由平移可知当直线y=2x-z,
经过点C时,直线y=2x-z的截距最大,此时z取得最小值,
x-y+6=0
x+y=0
,解得
x=-3
y=3
,即C(-3,3).
将C(-3,3)的坐标代入z=2x-y,得z=-6-3=-9,
即目标函数z=2x-y的最小值为-9.
(2)z=
x2+y2+4x+2y+5
=
(x+2)2+(y+1)2
,所求最值就是可行域内的点到(-2,-1)的距离的最小值和最大值.
点M到直线x+y=0的距离:
|-2-1|
2
=
3
2
2
.所以最小值为:
3
2
2

最大值为:MA的距离:
(3+2)2+(9+1)2
=5
5

(3)z=
x+y-5
x-4
=1+
y-1
x-4
,所求z的取值范围.就是P与可行域内的点连线的斜率加1的范围,
KPN=
1+3
4-3
=4.KPA=
9-1
3-4
=-8,
∴z的范围是:[-7,5].
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