题目内容
【题目】若有穷数列(
)满足:①
;②
.则称该数列为“
阶非凡数列”
(1)分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“
阶非凡数列”;
(2)设,若“
阶非凡数列”是等差数列,求其通项公式;
(3)记“阶非凡数列”的前
项的和为
,求证:
【答案】(1)三阶;四阶
;
(2),
;(3)证明见解析;
【解析】
(1)令即可得到“
阶非凡数列”;令
,
即可得到“
阶非凡数列”;
(2)由等差数列是“阶非凡数列” 得
,则数列各项以
为分界线,接下来对公差分两种情况讨论,即
和
,将
均用
表示,从而分别求得通项公式;
(3)对分两种情况讨论,即
和
,当
时结论显然成立,当
时,要结合绝对值不等式进行证明.
(1)“阶非凡数列”为:
;“
阶非凡数列”为:
.
(2)设等差数列的公差为,
,
,即
,
当时,
为递增数列,
且
,
,
①
;②
,
,
,
.
,
当时,
为递减数列,同理可得:
,
,
,
即,
.
(3)当时,
;
当时,
,
,
,
,
,
综上所述:成立.

练习册系列答案
相关题目