Question

【题目】已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；
（2）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，求不等式f（x）≥x+8，即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，

若x＜﹣1，则有﹣x﹣1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣2．

若﹣1≤x≤3，则有x+1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣4，不满足要求．

若x＞3，则有x+1+x﹣3≥x+8，求得x≥10．

综上可得，x的范围是{x|x≤﹣2或x≥10}．

（2）解：∵f（x）=|x+a|+|x﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|，

∴函数f（x）的最小值为|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=﹣5，

解得a=2，或a=﹣8．

【解析】（1）当a=1时，不等式即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，分类讨论去掉绝对值，分别求得它的解集，再取并集，即得所求．（2）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值为5，求得a的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)，还要掌握绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)的相关知识才是答题的关键．