Question

1．一般齿轮传动装置中有一个主动轮O₂和一个从动轮O₁，用皮带连接（假设皮带与轮子之间不发生滑动），直线O₁O₂是一条水平直线，主动轮O₂的半径是R，从动轮O₁的半径是r，且R=2r，主动轮每分钟逆时针转30圈．开始转动时，从动轮、主动轮上分别标有A₁，A₂两个点（如图所示），经过t秒A₁，A₂两个点运动到新位置B₁，B₂，设B₁，B₂到水平线O₁O₂的垂直高度（当A₁，A₂运动到水平线O₁O₂下方时，高度是负值）分别是h₁，h₂．
（1）令f（t）=h₁+h₂，写出f（t）的解析式及定义域；
（2）试问经过多少秒，f（t）第一次达到最大；经过多少秒，f（t）第一次达到最小？

Answer 1

分析 （1）由动轮O₁和O₂的线速度相同，得出O₁的角速度是O₂的2倍，求出h₁与h₂的表达式，得出f（t）的解析式及定义域；
（2）根据f（t）的解析式，利用导数求出f（t）取得最值以及对应的t的值．

解答 解：（1）动轮O₁和O₂的线速度相同，即v=rω，且R=2r；
∴ω₁=2ω₂，即O₁的角速度是O₂的2倍；
∴h₁=sin∠B₁O₁A₁•r=sin（ω₁t）•r=sin（2ω₂t）•r，
h₂=sin（ω₂t）•R=sin（ω₂t）•2r；
又O₂主动轮的角速度为ω₂=$\frac{30•2π}{60}$=π（rad/s），
∴f（t）=h₁+h₂
=rsin（2ω₂t）+2rsin（ω₂t）
=rsin2πt+2rsinπt，t∈[0，+∞）；
（2）∵f（t）=rsin2πt+2rsnπt
=r（sin2πt+2sinπt）
=2rsinπt（1+cosπt），
∴f′（t）=2r[πcosπt（1+cosπt）+sinπt•（-πsinπt）]
=2πr（2cos²πt+cosπt-1），
令f′（t）=0，解得cosπt=-1，或cosπt=$\frac{1}{2}$；
∴当cosπt=$\frac{1}{2}$，即t=2k±$\frac{1}{3}$，k∈Z时，f（t）取得最大值为r（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$r，且第一次取得最大值时t=$\frac{1}{3}$；
当cosπt=-1，即t=2k+1，k∈Z时，f（t）取得最小值为0，且第一次取得最大值时t=1．

点评 本题考查了三角函数建模的应用问题，也考查了求三角函数的最值应用问题，是综合性题目．