题目内容
【题目】
两县城A和B相聚20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧
上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对称A和城B的总影响度为0.0065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由。
【答案】（1）
（2）在弧AB上存在一点，且此点到城市A的距离为
【解析】
试题（1）根据实际问题构造数学模型，直径所对的圆周角为直角，进而得到
，进而得到
关于
的函数；（2）根据（1）得到的关于的函数，利用求导得到原函数在区间
内的单调性，进而求得其最小值.
试题解析：（1）如图,由题意知
AC⊥BC,
,
其中当
时，
,所以
所以表示成的函数为.
（2）
,
,令
得
,所以
,即
,当
时,
,即
所以函数为单调减函数,当
时,
,即
所以函数为单调增函数．所以当时, 即当
点到城
的距离为
时, 函数有最小值.
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