题目内容
【题目】已知曲线上的点到点
的距离比它到直线
的距离小2.
(1)求曲线的方程;
(2)过点且斜率为
的直线
交曲线
于
,
两点,若
,当
时,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)由题意得曲线是以
为焦点,以
为准线的抛物线,进而可得其方程为
;(2)设直线
为
,代入抛物线方程消去
可得
,设
,
,则
,由
,得
,又
,可构造
,由函数的单调性可得
,即
,解得
,即为所求。
试题解析:(1)由题意得动点到
的距离等于它到直线
的距离,
∴ 动点的轨迹是以
为焦点,以
为准线的抛物线,
设其方程为,由条件得
.
∴ 曲线的标准方程为
;
(2)由题意设直线的方程为
,
由消去y整理得
,
∵ 直线与抛物线相交,∴
,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则,
∵,即
,
∴,∴
,
由可得
,
即,
∵,∴
。
设 ,则函数
在
上单调递减。
∴,即
。
由得
,满足
。
∴的取值范围为
。
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