Question

6．已知函数f（x）=x²-1，g（x）=1+ax（a∈R），
（1）若a=-1，解不等式|f（x）|≤g（x）；
（2）讨论关于x的方程|f（x）|=g（x）的根的个数．

Answer 1

分析 （1）若a=-1，则|f（x）|≤g（x）可化为$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≤1-x}\\{{x}^{2}-1≥x-1}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）作函数f（x）=x²-1与函数g（x）=1+ax的图象，从而结合图象分情况讨论即可．

解答 解：（1）若a=-1，则|f（x）|≤g（x）可化为
|x²-1|≤1-x，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≤1-x}\\{{x}^{2}-1≥x-1}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤1}\\{x≥1或x≤0}\end{array}\right.$；
故不等式的解集为[-2，0]∪{1}；
（2）作函数f（x）=x²-1与函数g（x）=1+ax的图象如下，
，
函数g（x）=1+ax的图象是一条过点（0，1）的直线，斜率为a，
结合图象可知，
当a=0或a=±1时，
函数f（x）=x²-1与函数g（x）=1+ax的图象有三个交点，
即方程|f（x）|=g（x）有三个不同的根，
当a＜-1或a＞1时，
函数f（x）=x²-1与函数g（x）=1+ax的图象有两个交点，
即方程|f（x）|=g（x）有两个不同的根，
当-1＜a＜1且a≠0时，
函数f（x）=x²-1与函数g（x）=1+ax的图象有四个交点，
即方程|f（x）|=g（x）有四个不同的根．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根与函数的图象的关系应用．