题目内容
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD中点.(Ⅰ)试证:CD⊥平面BEF;
(Ⅱ)高PA=k•AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30°,求k的取值范围.
分析:(I)欲证CD⊥面BEF,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CD与面BEF内两相交直线垂直,而CD⊥BF,CD⊥EF,BF∩EF=F,满足定理条件;
(Ⅱ)连接AC交BF于G,在底面ABCD中,过G作GH⊥BD,垂足为H,连接EH,根据二面角平面角的定义可知∠EHG为二面角E-BD-C的平面角,求出此角的正切值使该值大于tan30°,即可求出k的范围.
(Ⅱ)连接AC交BF于G,在底面ABCD中,过G作GH⊥BD,垂足为H,连接EH,根据二面角平面角的定义可知∠EHG为二面角E-BD-C的平面角,求出此角的正切值使该值大于tan30°,即可求出k的范围.
解答:(I)证明:由已知∠DAB为直角.
故ABFD是矩形.从而CD⊥BF.
又PA⊥底面ABCD,CD⊥AD,
故由三垂线定理知CD⊥PD.△PDC中,E、F分别为PC、CD的中点,
故EF∥PD,从而CD⊥EF,CD?面BEF,BE?面BEF
由此得CD⊥面BEF.
(Ⅱ)连接AC交BF于G,
易知G为AC的中点,连接EG,
则在△PAC中易知EG∥PA.
因PA⊥底面ABCD,故EG⊥底面ABCD.
在底面ABCD中,过G作GH⊥BD.
垂足为H,连接EH,
由三垂线定理知EH⊥BD.
从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角.
设AB=α则在△PAC中,有EG=
PA=
kα
以下计算GH,考虑底面的平面图,
连接GD,因S△GBD=
BD•GH=
GB•DF,
故GH=
.
在△ABD中,因AB=a.AD=2a.得BD=
a.
而GB=
FB=
AD=a,DF=AB,从而得GH=
=
=
a.
因此,tanEHG=
=
=
.
由k>0知∠EHG是锐角.故要使∠EHG>30°,
必须
>tan30°=
,
取值范围为k>
故ABFD是矩形.从而CD⊥BF.
又PA⊥底面ABCD,CD⊥AD,
故由三垂线定理知CD⊥PD.△PDC中,E、F分别为PC、CD的中点,
故EF∥PD,从而CD⊥EF,CD?面BEF,BE?面BEF
由此得CD⊥面BEF.
(Ⅱ)连接AC交BF于G,
易知G为AC的中点,连接EG,
则在△PAC中易知EG∥PA.
因PA⊥底面ABCD,故EG⊥底面ABCD.
在底面ABCD中,过G作GH⊥BD.
垂足为H,连接EH,
由三垂线定理知EH⊥BD.
从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角.
设AB=α则在△PAC中,有EG=
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以下计算GH,考虑底面的平面图,
连接GD,因S△GBD=
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故GH=
GB•DF |
BD |
在△ABD中,因AB=a.AD=2a.得BD=
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而GB=
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GB•AB |
BD |
a•a | ||
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5 |
因此,tanEHG=
EG |
GH |
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由k>0知∠EHG是锐角.故要使∠EHG>30°,
必须
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取值范围为k>
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点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及二面角及其度量,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
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