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精英家教网如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD中点.
(Ⅰ)试证:CD⊥平面BEF;
(Ⅱ)高PA=k•AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30°,求k的取值范围.
分析:(I)欲证CD⊥面BEF,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CD与面BEF内两相交直线垂直,而CD⊥BF,CD⊥EF,BF∩EF=F,满足定理条件;
(Ⅱ)连接AC交BF于G,在底面ABCD中,过G作GH⊥BD,垂足为H,连接EH,根据二面角平面角的定义可知∠EHG为二面角E-BD-C的平面角,求出此角的正切值使该值大于tan30°,即可求出k的范围.
解答:(I)证明:由已知∠DAB为直角.
故ABFD是矩形.从而CD⊥BF.
又PA⊥底面ABCD,CD⊥AD,
故由三垂线定理知CD⊥PD.△PDC中,E、F分别为PC、CD的中点,
故EF∥PD,从而CD⊥EF,CD?面BEF,BE?面BEF
由此得CD⊥面BEF.
(Ⅱ)连接AC交BF于G,
易知G为AC的中点,连接EG,
则在△PAC中易知EG∥PA.
因PA⊥底面ABCD,故EG⊥底面ABCD.
在底面ABCD中,过G作GH⊥BD.
垂足为H,连接EH,
由三垂线定理知EH⊥BD.
从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角.
AB=α则在△PAC中,有EG=
1
2
PA=
1
2

以下计算GH,考虑底面的平面图,
连接GD,因S△GBD=
1
2
BD•GH=
1
2
GB•DF

故GH=
GB•DF
BD

△ABD中,因AB=a.AD=2a.得BD=
5
a

GB=
1
2
FB=
1
2
AD=a
DF=AB,从而得GH=
GB•AB
BD
=
a•a
5
a
=
5
5
a

因此,tanEHG=
EG
GH
=
1
2
ka
5
a
5
=
5
k
2

由k>0知∠EHG是锐角.故要使∠EHG>30°,
必须
5
k
2
>tan30°=
3
3

取值范围为k>
2
15
15
点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及二面角及其度量,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
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