题目内容
【题目】(题文)在平面直角坐标系中,椭圆
的长轴长
,短轴长
.
(1)求椭圆的方程;
(2)记椭圆的左右顶点,分别过
作
轴的垂线交直线
于点
,
为 椭圆上位于
轴上方的动点,直线
,
分别交直线
于点
,
.
(i)当直线的斜率为2时,求
的面积;
(ii)求的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)直接利用已知求出a和b即得椭圆的方程.(2) (i)先求出点E,F的坐标,再求|EF|,再求的面积. (ii)先分别求DE,CF,再求
.再利用基本不等式求
的最小值.
(1)由题得,所以椭圆的方程为
.
(2)由(1)知,
,
设,则
,直线
的方程为
,
令,得
,
直线的方程为
,令
,得
,
(i)当直线的斜率为
时,有
,消去
并整理得,
解得或
(舍),
所以的面积
.
(ii),
,
所以.
所以DE+CF.
所以对任意的动点,
的最小值为
.
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