Question

【题目】已知函数 （x∈R）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）①判断函数f（x）的奇偶性；②用定义判断函数f（x）的单调性；
（3）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

又2x＞0，∴﹣1＜y＜1

∴函数f（x）的值域为（﹣1，1）

（2）解：明：①∵ ，

∴函数f（x）为奇函数

② =

在定义域中任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，

则

∵x1＜x2，∴0＜ ，

从而f（x1）﹣f（x2）＜0

∴函数f（x）在R上为单调增函数

（3）解：由（2）得函数f（x）为奇函数，在R上为单调增函数

∴f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0即f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2），

∴f（1﹣m）＜f（m2﹣1），1﹣m＜m2﹣1

∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）

【解析】（1）先由原函数式反解出2x ， 再利用2x的取值范围建立关于y的不等关系，解不等式即可；（2）分别利用函数奇偶性和单调性的定义求解即可，对于奇偶性的判断，只须考虑f（﹣x）与f（x）的关系即得；对于单调性的证明，先在定义域中任取两个实数x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 再比较f（x1）﹣f（x2）即可；（3）先依据函数y=f（x）在R上单调性化掉符号：“f”，将问题转化为关于m的整式不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求得m的取值范围．
【考点精析】利用函数的值域和函数单调性的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．