题目内容
已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1）证明：PF⊥FD；
（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；
（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值．
分析：解法一（向量法）
（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；
（2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；
（3）由
是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
解法二（几何法）
（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；
（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH=
AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=
AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；
（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．
（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；
（2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；
（3）由
| AB |
解法二（几何法）
（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；
（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．
解答：
解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0）．（2分）
不妨令P（0，0，t）∵
=(1，1，-t)，
=(1，-1，0)
∴
•
=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0，
即PF⊥FD．（4分）
（Ⅱ）设平面PFD的法向量为
=(x，y，z)，
由
，得
，令z=1，解得：x=y=
．
∴
=(
，
，1)． （6分）
设G点坐标为（0，0，m），E(
，0，0)，则
=(-
，0，m)，
要使EG∥平面PFD，只需
•
=0，即(-
)×
+0×
+1×m=m-
=0，
得m=
t，从而满足AG=
AP的点G即为所求．（8分）
（Ⅲ）∵AB⊥平面PAD，
∴
是平面PAD的法向量，易得
=(1，0，0)，（9分）
又∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，
得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为
=(
，
，1)（10分）
∴cos?
，
＞=
=
=
，
故所求二面角A-PD-F的余弦值为
．（12分）
解法二：（Ⅰ）证明：连接AF，则AF=
，DF=
，
又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，
∴DF⊥AF（2分）
又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴
⇒DF⊥PF（4分）
（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH=
AD（5分）
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=
AP，
∴平面GEH∥平面PFD（7分）
∴EG∥平面PFD．
从而满足AG=
AP的点G即为所求． （8分）
（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=1（9分）
取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角（10分）
∵Rt△MND∽Rt△PAD，
∴
=
，
∵PA=1，MD=1，PD=
，且∠FMN=90°
∴MN=
，FN=
=
，
∴cos∠MNF=
=
（12分）
解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0）．（2分）
不妨令P（0，0，t）∵
| PF |
| DF |
∴
| PF |
| DF |
即PF⊥FD．（4分）
（Ⅱ）设平面PFD的法向量为
| n |
由
|
|
| t |
| 2 |
∴
| n |
| t |
| 2 |
| t |
| 2 |
设G点坐标为（0，0，m），E(
| 1 |
| 2 |
| EG |
| 1 |
| 2 |
要使EG∥平面PFD，只需
| EG |
| n |
| 1 |
| 2 |
| t |
| 2 |
| t |
| 2 |
| t |
| 4 |
得m=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅲ）∵AB⊥平面PAD，
∴
| AB |
| AB |
又∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，
得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为
| n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴cos?
| AB |
| n |
| ||||
|
|
| ||||||
|
| ||
| 6 |
故所求二面角A-PD-F的余弦值为
| ||
| 6 |
解法二：（Ⅰ）证明：连接AF，则AF=
| 2 |
| 2 |
又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，
∴DF⊥AF（2分）
又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴
|
（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH=
| 1 |
| 4 |
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=
| 1 |
| 4 |
∴平面GEH∥平面PFD（7分）
∴EG∥平面PFD．
从而满足AG=
| 1 |
| 4 |
（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=1（9分）
取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角（10分）
∵Rt△MND∽Rt△PAD，
∴
| MN |
| PA |
| MD |
| PD |
∵PA=1，MD=1，PD=
| 5 |
∴MN=
| ||
| 5 |
|
| ||
| 5 |
∴cos∠MNF=
| MN |
| FN |
| ||
| 6 |
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定，其中解法一的关键是建立的空间坐标系，将空间线面关系转化为向量夹角问题，解法二的关键是熟练掌握空间线面关系的判定，性质．
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