Question

7．已知k是整数，∠A、∠B、∠C为钝角△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c．
（1）若方程x²-2kx+3k²-7k+3=0有实根，求k的值；
（2）对于（1）中的k的值，若sinC=$\frac{k}{\sqrt{2}}$，且有关系式（c-b）sin²A+bsin²B=csin²C，试求∠A、∠B、∠C的度数．

Answer 1

分析 （1）由二次方程有实根的条件得：△=4k²-4（3k²-7k+3）≥0，化简求出不等式的解，根据k是整数得到k的值；
（2）由（1）和正弦函数的范围求出sinC，由内角的范围求出∠C，根据正弦定理化简已知的式子，结合条件和余弦定理求出∠A，再求出∠B、∠C的度数．

解答 解：（1）∵方程x²-2kx+3k²-7k+3=0有实根，
∴△=4k²-4（3k²-7k+3）≥0，则2k²-7k+3≤0，
解得$\frac{1}{2}≤k≤3$，
∵k是整数，∴k的值是1、2、3；
（3）∵sinC=$\frac{k}{\sqrt{2}}$≤1，∴由（1）知k=1符合，则sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠C=45°或135°，
∵（c-b）sin²A+bsin²B=csin²C，
∴由正弦定理得，（c-b）a²+b³=c³，
化简得，（c-b）a²=（c-b）（b²+bc+c²），
∵△ABC是钝角三角形，且∠C=45°或135°，
∴c-b≠0，则a²=b²+bc+c²，即b²+c²-a²=-bc，
由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$-\frac{1}{2}$，
∴∠A=120°，∠C=45°，则∠B=180°-A-C=180°-120°-45°=15°，
即∠A、∠B、∠C的度数分别是120°、45°、15°．

点评 本题考查了正弦、余弦定理，内角和定理，正弦三角函数的值域，以及二次方程、不等式等，考查的知识点较多，属于中档题．