Question

（2006•崇文区一模）已知数列{a_n}满足3S_n=（n+2）a_n（n∈N^*），其中S_n为其前n项的和，a₁=2
（I）证明：数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）；
（II）求数列{

1

an

}的前n项和T_n；
（III）是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有|Tn-1|＜

1

10

成立，若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由3S_n=（n+2）a_n，知3S_n-1=（n+1）a_n-1，所以（n+1）a_n-1=（n-1）a_n，

an

an-1

=

n+1

n-1

，

an-1

an-2

=

n

n-2

，

a3

a2

=

4

2

，

a2

a1

=

3

1

．两端同时求积能够证明a_n=n（n+1）．
（II） 由

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，知

1

an-1

=

1

n-1

-

1

n

，

1

a2

=

1

2

-

1

3

，

1

a1

=1-

1

2

．两端同时求和能够得到数列{

1

an

}的前n项和T_n．
（III）存在无限集合M，使得当n∈M时，总有|Tn-1|＜

1

10

成立．|T_n-1|=|

n

n+1

-1|=

1

n+1

，则n＞9．由此能求出无限集合M．

解答：解：（I）∵3S_n=（n+2）a_n，①
∴3S_n-1=（n+1）a_n-1，②
①-②得：3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
即（n+1）a_n-1=（n-1）a_n，
则有

an

an-1

=

n+1

n-1

，

an-1

an-2

=

n

n-2

，

a3

a2

=

4

2

，

a2

a1

=

3

1

．
两端同时求积得：

an

a1

=

n(n+1)

2

，
即a_n=n（n+1）．
（II） 由

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，

1

an-1

=

1

n-1

-

1

n

，

1

a2

=

1

2

-

1

3

，

1

a1

=1-

1

2

．
两端同时求和得：

1

an

+

1

an-1

+…+

1

a2

+

1

a1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
即T_n=

n

n+1

．
（III）存在无限集合M，使得当n∈M时，
总有|Tn-1|＜

1

10

成立．
|T_n-1|=|

n

n+1

-1|=

1

n+1

，
则|T_n-1|＜

1

10

成立，即n＞9．
所以，取M={10，11，12，13，14，…} 即可．

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查推理论证能力，有一定的探索性，综合性强，难度大，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．