Question

16．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-2sin²x+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），由周期公式即可得解．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x的范围，再由x∈[0，π]，进一步确定x的范围，即可求得函数在[0，π]上单增区间．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-2sin²x+1
=$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即　kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
当k=0时，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5π}{12}≤x≤\frac{π}{12}}\\{0≤x≤π}\end{array}\right.$，解得0≤x≤$\frac{π}{12}$．
当k=1时，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7π}{12}≤x≤\frac{13π}{12}}\\{0≤x≤π}\end{array}\right.$，解得$\frac{7π}{12}$≤x≤π，
所以，函数在[0，π]上单增区间是[0，$\frac{π}{12}$]，[$\frac{7π}{12}$，π]．…（14分）

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，求三角函数的单调区间，属于基础题．