题目内容
【题目】已知
，
.
（1）求当
时，
的值域；
（2）若函数在
内有且只有一个零点，求
的取值范围.
【答案】（1）
的值域为
；（2）
或
.
【解析】
试题分析：（1）当
时，
，令
，则
，
，可求的值域；（2）
，
令
，则当
时，
，
，在
内有且只有一个零点等价于
在
内有且只有一个零点，
无零点.因为
，∴在
内为增函数，分①若在内有且只有一个零点，无零点，和②若
为的零点，内无零点两种情况讨论即可.
试题解析：（1）当时，
，令，则，
，
，当
时，
，当
时，
，所以的值域为.
（2），
令，则当时，，
，
，在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，无零点.因为，∴在内为增函数，①若在内有且只有一个零点，无零点，故只需
得；
②若为的零点，内无零点，则
，得
，经检验，符合题意.
综上，或.
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