题目内容
【题目】如图，圆形纸片的圆心为
，半径为1，该纸片上的等边三角形
的中心为.
、
、
为圆上的点，
，
，
分别是以
，
，
为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱锥.当
的边长变化时，所得三棱锥体积的最大值为__________．
【答案】
【解析】分析：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=
BC，设OG=x，则BC=2
x，DG=1﹣x，三棱锥的高h=
，求出S△ABC=3
，V=
=
，令f（x）=x4﹣2x5，x∈（0，
），f′（x）=4x3﹣10x4，f（x）≤f（
）=，由此能求出体积最大值．
详解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，
设OG=x，则BC=2x，DG=1﹣x，
三棱锥的高h=，S△ABC=3，
,则V= =
令f（x）=x4﹣2x5，x∈（0，），f′（x）=4x3﹣10x4，
函数在
上是增函数，在
上是减函数，
所以f（x）≤f（）=
，
∴V≤
=，∴体积最大值为cm3．
故答案为：cm3．
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