题目内容
【题目】已知函数(
).
(1)讨论函数极值点的个数,并说明理由;
(2)若,
恒成立,求
的最大整数值.
【答案】(1)当时,
在
上没有极值点;当
时,
在
上有一个极值点.
(2)3.
【解析】试题分析:
(1)首先对函数求导,然后分类讨论可得当时,
在
上没有极值点;当
时,
在
上有一个极值点.
(2)结合题中所给的条件构造新函数(
),结合函数的性质可得实数
的最大整数值为3.
试题解析:
(1)的定义域为
,且
.
当时,
在
上恒成立,函数
在
上单调递减.
∴在
上没有极值点;
当时,令
得
;
列表
所以当时,
取得极小值.
综上,当时,
在
上没有极值点;
当时,
在
上有一个极值点.
(2)对,
恒成立等价于
对
恒成立,
设函数(
),则
(
),
令函数,则
(
),
当时,
,所以
在
上是增函数,
又,
,
所以存在,使得
,即
,
且当时,
,即
,故
在
在上单调递减;
当时,
,即
,故
在
上单调递增;
所以当时,
有最小值
,
由得
,即
,
所以,
所以,又
,所以实数
的最大整数值为3.
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