Question

已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点，A（0，b），连接AF₁并延长交椭圆C于B点，若

AF1

=

3

2

F1B

，

AB

•

AF2

=5，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是直线x=5上的一点，直线PF₂交椭圆C于D、E两点，是否存在这样的点P，使得

AD

⊥

AE

？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出B点的坐标，写出所用向量的坐标，利用

AF1

=

3

2

F1B

列式求出B的坐标（用含有b，c的代数式表示），然后分别用B在椭圆上和

AB

•

AF2

=5列式联立方程组求解a，b，c，则椭圆方程可求；
（2）假设存在点P，由题意设出DE所在直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出D，E两点的横坐标的和与积，把

AD

⊥

AE

转化为坐标运算，代入根与系数关系后求出k的值，
求出直线方程后验证即可得到答案．

解答：解：（1）设B（x₀，y₀），又F₁（-c，0），A（0，b），F₂（c，0）．
∴

AF1

=(-c，-b)，

F1B

=(x0+c，y0)，

AF2

=(c，-b)．
∵

AF1

=

3

2

F1B

，∴(-c，-b)=

3

2

(x0+c，y0)，
∴

x0=- 5 3 c y0=- 2 3 b

，即B(-

5

3

c，-

2

3

b)，
则

AB

=(-

5

3

c，-

5

3

b)．
又点B在椭圆上，∴a²=5c²，
又

AB

•

AF2

=5，即(-

5

3

c，-

5

3

b)•(c，-b)=5，
∴b²-c²=3，又∵a²=b²+c²，∴a=

5

，b=2，c=1．
∴椭圆C的方程为

x2

5

+

y2

4

=1；
（2）假设存在点P，由题意知直线DE的斜率一定存在，设为k，
则DE的方程为y=k（x-1），又设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) 4x2+5y2=20

⇒(4+5k2)x2-10k2x+5k2-20=0
⇒x1+x2=

10k2

4+5k2

，x1x2=

5k2-20

4+5k2

．
∵

AD

⊥

AE

，∴

AD

•

AE

=0，
∴x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=0，x₁x₂+（kx₁-k-2）（kx₂-k-2）=0．
即(k2+1)x1x2-k(k+2)(x1+x2)+(k+2)2=0，代入得

(k2+1)(5k2-20)-k(k+2)•10k2+(k+2)2(4+5k2)

4+5k2

=0
化简，得

9k2+16k-4

4+5k2

=0，解得k=-2或k=

2

9

．
当k=-2时，直线DE的方程为y=-2x+2，由于直线DE过点A，不合题意．
当k=

2

9

时，直线DE的方程为y=

2

9

x-

2

9

，与x=5联立，求得点P(5，

8

9

)．
因此存在点P(5，

8

9

)满足题意．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，利用方程的根与系数的关系是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．