Question

9．求下列各式中n（n∈N^*）的值：
（1）${C}_{n}^{5}$+${C}_{n}^{6}$=${C}_{n+1}^{3}$；
（2）${C}_{n+1}^{n-4}$=$\frac{7}{15}$${P}_{n+1}^{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据组合数公式，化简方程，再求解即可；
（2）根据组合数与排列数的公式，化简方程，求出n的值．

解答 解：（1）∵${C}_{n}^{5}$+${C}_{n}^{6}$=${C}_{n+1}^{6}$=${C}_{n+1}^{3}$，
∴6+3=n+1，
解得n=8；
（2）∵${C}_{n+1}^{n-4}$=$\frac{7}{15}$${P}_{n+1}^{3}$，
∴${C}_{n+1}^{5}$=$\frac{7}{15}$${P}_{n+1}^{3}$，
即$\frac{（n+1）!}{（n+1-5）!•5!}$=$\frac{7}{15}$•$\frac{（n+1）!}{（n+1-3）!}$，
化简得$\frac{1}{5!}$=$\frac{7}{15}$•$\frac{1}{（n-2）（n-3）}$，
即n²-5n-50=0，
解得n=-5（不合题意，舍去）或n=10，
∴n=10．

点评 本题考查了排列数与组合数公式的应用问题，也考查了解方程的应用问题，是基础题目．