Question

4．二项式（$\sqrt{x}$-$\root{3}{x}$）ⁿ展开后有理项共33项，若n＜195，求n．

Answer 1

分析 根据通项公式可得当x的幂指数为有理数时，r=3n；根据n＜195，可得r＜585．再由有理项共33项，求得r的最大值，从而得到n的值．

解答 解：二项式（$\sqrt{x}$-$\root{3}{x}$）ⁿ展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（-1）^r${x}^{\frac{n}{2}-\frac{r}{6}}$，
令$\frac{n}{2}-\frac{r}{6}$为有理数，可得r=3n．
∵n＜195，∴r＜585．
∴r=0，3，6，9，12，…，96，共计33个．
故n=96．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．