题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)对,
恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当时,求
在
上的最大值和最小值;
(3)证明:对都有
成立.
【答案】(1);(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】
(1)原不等式等价于,参变分离可求参数
的取值范围.
(2)当时,
,该函数的极小值点为
,因函数的定义域为
,故分
和
两种情况分类讨论即可.
(3)即证在
上恒成立,也就是
在
上恒成立,令
,
,利用导数可证
.
(1)由题意,在
恒成立,
即,
,在
恒成立,
设,只须
.
由于
所以时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增;
故.因此
.
所以的取值范围为
.
(2)时,
,
,令
,得
.
当时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.
故在
时,
为最小值点,且
.
由题意 ,
,
1°当时,
在
最小值为
,
,
由于.
.
故.
即当时,
在
最小值为
,
最大值为.
2°当时,
在
单调递增,
,
,
综上所求.
当时,
,
当时,
.
(Ⅲ)即证:,
即证:,亦即证:
,
设,即
,
令,
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
即.
又设,
.
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减.
故.
所以最小值与
最大值均为
.
但取得最小值与
取得最大值时的
不相同,故,
即成立,亦即结论成立.
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