题目内容

已知函数f（x）=sin（ωx- $数学公式$ ）+ $数学公式$ cos（ωx- $数学公式$ ）（ω＞0），其图象与x轴的一个交点到其邻近一条对称轴的距为 $数学公式$
（1）求f（ $数学公式$ ）的值；
（2）将函数f（x）的图象向右平移 $数学公式$ 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到时原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求[ $数学公式$ ，2π]上的最大值和最小值．

解：（1）由题意函数f（x）=sin（ωx- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ cos（ωx- $\text{[math]}$ ）（ω＞0），
其图象与x轴的一个交点到其邻近一条对称轴的距为 $\text{[math]}$ ；
所以 $\text{[math]}$ ，可得T=π，∴ω= $\text{[math]}$ ∴f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ cos（2x- $\text{[math]}$ ）=2sin2x
所以f（ $\text{[math]}$ ）=2sin $\text{[math]}$ =1
（2）将函数f（x）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后，得到y=2sin2（x- $\text{[math]}$ ）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ）；
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到时原来的4倍，得到y=2sin（2× $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）=2sin $\text{[math]}$ ；
∴g（x）=2sin $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴当x= $\text{[math]}$ 时，g（x）的最小值为： $\text{[math]}$ ；当x= $\text{[math]}$ 时g（x）的最大值为2．
分析：（1）图象与x轴的一个交点到其邻近一条对称轴的距为 $\text{[math]}$ ，推出函数的周期，利用函数的周期求出ω，化简函数的表达式求出函数的解析式，然后求f（ $\text{[math]}$ ）的值；
（2）将函数f（x）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数的解析式，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到时原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的解析式，分析[ $\text{[math]}$ ，2π]上，推出 $\text{[math]}$ 的范围，然后求出函数的最大值和最小值．
点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，周期的应用，三角函数的最值的求法，函数的平移变换，考查计算能力．