Question

1．三角形ABC中，a（cosB+cosC）=b+c，
（1）求证A=$\frac{π}{2}$
（2）若三角形ABC的外接圆半径为1，求三角形ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化简已知整理可得：（b+c）（a²-b²-c²）=0，由b+c＞0，可得a²=b²+c²，即可解得A=$\frac{π}{2}$．
（2）利用正弦定理可得a=2，b+c=2$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），结合范围0$＜B＜\frac{π}{2}$，可得2＜b+c$≤2\sqrt{2}$，从而可求三角形ABC周长的取值范围．

解答 解：（1）证明：∵a（cosB+cosC）=b+c，
∴由余弦定理可得：a$•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+a$•\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=b+c，
∴整理可得：（b+c）（a²-b²-c²）=0，
∵b+c＞0，
∴a²=b²+c²，
∴A=$\frac{π}{2}$，得证．
（2）∵三角形ABC的外接圆半径为1，A=$\frac{π}{2}$，
∴a=2，
∴b+c=2（sinB+cosB）=2$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
∵0$＜B＜\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴2＜b+c$≤2\sqrt{2}$，
∴4＜a+b+c≤2$+2\sqrt{2}$，
∴三角形ABC周长的取值范围是：（4，2+2$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．