题目内容

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，则A₁C与DE所成的角的余弦为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：连接A₁B、AB₁交于点F，连接DF、EF、A₁D、BD，根据△A₁BC的中位线，得到∠DEF（或其补角）就是异面直线A₁C与DE所成的角．再设正方体棱长为2，根据正方体的性质，在△DEF中计算出各边的长，最后用余弦定理算出A₁C与DE所成的角的余弦．
解答：

解：连接A₁B、AB₁交于点F，连接DF、EF、A₁D、BD
设正方体棱长为2，则对角线A₁C= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
∵△A₁BC中，E、F分别是BC、A₁B的中点
∴EF∥A₁C且EF= $\text{[math]}$ A₁C= $\text{[math]}$
∠DEF（或其补角）就是异面直线A₁C与DE所成的角
∵△A₁BD中，A₁D=DB=A₁B= $\text{[math]}$ AB=2 $\text{[math]}$
∴△A₁BD是正三角形，可得中线DF= $\text{[math]}$ DB= $\text{[math]}$
∵Rt△CDE中，DE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴△DEF中，cos∠DEF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0
因此∠DEF为锐角，等于异面直线A₁C与DE所成的角．
即A₁C与DE所成的角的余弦为 $\text{[math]}$
故选A
点评：本题在正方体中求异面直线所成的角，着重考查了正方体的性质、余弦定理和异面直线所成角的求法等知识，属于基础题．