题目内容

已知圆C经过两点,且在轴上截得的线段长为,半径小于5.(1)求直线与圆C的方程;(2)若直线,直线与圆C交于点A、B,且以AB为直径的圆经过坐标原点,求直线的方程.
(1)直线PQ:,圆C方程:
(2)直线.

试题分析:(1)根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程是解决本题的关键,根据待定系数法设出圆心坐标和半径,寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键,注意弦长问题的处理方法;
(2)利用直线的平行关系设出直线的方程,利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程,通过方程思想确定出所求的方程,注意对所求的结果进行验证和取舍.
试题解析:(1)直线PQ的方程为即直线PQ的方程为x+y-2=0,
C在PQ的中垂线即y=x-1上,
设C(n,n-1),则r2=|CQ|2=(n+1)2+(n-4)2
由题意,有 ∴n2+12=2n2-6n+17,
∴n=1或5(舍去),r2=13或37(舍去),
∴圆C的方程为
(2)设直线l的方程为x+y+m=0,由,消去y得2x2+(2m-2)x+m2-12=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1-m,x1x2=
又∵以AB为直径的圆经过坐标原点∠AOB=90°,∴x1x2+y1y2=0
,将韦达定理的结果代入并整理化间得m2+m-12=0,
∴m=3或-4(均满足△>0),
∴l的方程为x+y+3=0或x+y-4=0.
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