Question

18．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=AC=4，AA₁⊥平面ABC； AB⊥AC，
（1）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（2）在线段BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，求$\frac{BD}{B{C}_{1}}$的值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，求出平面A₁BC₁的法向量、平面BB₁C₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（2）设D（x，y，z）是直线BC₁上一点，且$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{B{C_1}}$，可得$\overrightarrow{AD}=（4λ，3-3λ，4λ）$，利用AD⊥A₁B，即可求$\frac{BD}{B{C}_{1}}$的值．

解答 解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，
则B（0，3，0），A₁（0，0，4），B₁（0，3，4），C₁（4，0，4），
设平面A₁BC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{{\begin{array}{l}{n•\overrightarrow{{A_1}B}=0}\\{n•\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{3y-4z=0}\\{\;\;\;4x=0}\end{array}}\right.$，
令z=3，则x=0，y=4，所以$\overrightarrow{n}$=（0，4，3）．
同理可得，平面BB₁C₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（3，4，0），
所以cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{16}{25}$．
由题知二面角A₁-BC₁-B₁为锐角，
所以二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值为$\frac{16}{25}$．…5分
（2）设D（x，y，z）是直线BC₁上一点，且$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{B{C_1}}$．
所以（x，y-3，z）=λ（4，-3，4）．解得x=4λ，y=3-3λ，z=4λ．
所以$\overrightarrow{AD}=（4λ，3-3λ，4λ）$．
由$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{{A_1}B}=0$，即9-25λ=0．解得$λ=\frac{9}{25}$．
因为$\frac{9}{25}∈[0，1]$，所以在线段BC₁上存在点D，使得AD⊥A₁B．
此时，$\frac{BD}{{B{C_1}}}=λ=\frac{9}{25}$．…10分．

点评 本题考查二面角的平面角，考查利用空间向量解决数学问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．