Question

【题目】已知数列{an}(n∈N*)满足：a1＝1，an＋1－sin2θ·an＝cos 2θ·cos2nθ，其中θ∈.

(1)当θ＝时，求数列{an}的通项公式；

(2)在(1)的条件下，若数列{bn}满足bn＝sin＋cos (n∈N*，n≥2)，且b1＝1，求证：对任意的n∈N*,1≤bn≤恒成立．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】分析：（1）将θ＝代入可得an＋1－an＝0，即＝，从而可得{an}的通项公式；

（2）由(1)得an＝，所以当n∈N*，n≥2时，，从而即可证明.

详解：(1)当θ＝时，sin2θ＝，cos 2θ＝0，所以an＋1－an＝0，即＝.所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，即数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N*)．

(2)证明：由(1)得an＝，所以当n∈N*，n≥2时，

bn＝sin＋cos＝sin＋cos·＝sin＋cos＝sin，

易知b1＝1也满足上式，

所以bn＝sin (n∈N*)．

因为n∈N*，所以0<≤，<＋≤，

所以1≤sin≤，即对任意的n∈N*,1≤bn≤恒成立.