题目内容
【题目】当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是 .
【答案】[﹣6,﹣2]
【解析】解:当x=0时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立; 当0<x≤1时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥ ,
令f(x)= ,则f′(x)=﹣
+
+
=﹣
(*),
当0<x≤1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,
f(x)max=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6;
当﹣2≤x<0时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤ ﹣
,
由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2;
综上所述,实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数a的取值范围是[﹣6,﹣2].
所以答案是:[﹣6,﹣2].
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