Question

19．定义函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2sin\frac{7π}{2}，x＞0}\\{2tan\frac{25π}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，设f（x）=[g（2-x）•f₁（x）]•[g（x-3）•f₂（x）]，x∈[0，2]，其中f₁（x）=x+m，f₂（x）=1-x，若f（x）-20≤g（x）恒成立，则实数m的取值范围为[-$\frac{9}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 化简g（x），由x的范围，得到2-x，x-3的范围，化简f（x），再令h（x）=4x²+4（m-1）x-4m-20，若f（x）-20≤g（x）恒成立，则h（x）_max≤-2在[0，2]恒成立．讨论二函数的对称轴和区间的关系，运用单调性得到最大值，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2，x＞0}\\{2，x＜0}\end{array}\right.$，由x∈[0，2]，
则-2≤-x≤0，0≤2-x≤2≤g（2-x）=-2，
同理-3≤x-3≤-1，g（x-3）=2，
则f（x）=[g（2-x）•f₁（x）]•[g（x-3）•f₂（x）]
=（-2）（x+m）•2（1-x）=4（x-1）（x+m）=4x²+4（m-1）x-4m，
令h（x）=4x²+4（m-1）x-4m-20，
若f（x）-20≤g（x）恒成立，则h（x）_max≤-2在[0，2]恒成立．
h（x）的对称轴x=$\frac{1-m}{2}$，
（1）若$\frac{1-m}{2}$≤0即m≥1，h（x）在[0，2]递增，h（x）_max=h（2）=4m-12≤-2，即m≤$\frac{5}{2}$，则1≤m≤$\frac{5}{2}$；
（2）若0＜$\frac{1-m}{2}$＜2，即-3＜m＜1，
①若$\frac{1-m}{2}$-0＜2-$\frac{1-m}{2}$，即m＞-1，则h（x）_max=h（2）=4m-12≤-2，即m≤$\frac{5}{2}$，故m∈（-1，1）；
②若$\frac{1-m}{2}$-0＞2-$\frac{1-m}{2}$，即m＜-1，则h（x）_max=h（0）=-4m-20≤-2，即m≥-$\frac{9}{2}$，故m∈[-$\frac{9}{2}$，-1）；
③$\frac{1-m}{2}$-0=2-$\frac{1-m}{2}$，即m=-1，则h（x）_max=h（0）=h（2）=4m-12=-4m-20，解得m=-1，即-16≤-2，故m=-1．
（3）若$\frac{1-m}{2}$≥2，解得m≤-3，h（x）在[0，2]递减，则h（x）_max=h（0）=-4m-20≤-2，解得m$≥-\frac{9}{2}$，
此时m∈[-$\frac{9}{2}$，-3]．
综上可得，m的取值范围是[-$\frac{9}{2}$，$\frac{5}{2}$]．
故答案为：[-$\frac{9}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，注意运用二次函数的对称轴和区间的关系，正确分类讨论是解题的关键．