Question

（本小题满分12分）已知函数．
(1)若定义域内存在，使不等式成立，求实数的最小值；
(2)若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数取值范围.

Answer 1

（1）（2）

解析试题分析：（1）因为定义域内存在，使不等式成立，所以.
由已知得，函数的定义域为，
令得，令得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即实数的最小值为.               ---5分
（2）因为函数在区间上恰有两个不同的零点， 
所以有两个不相等的实数根.
令，所以，
所以
∴在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增，
而
∴.                                              ---12分
考点：本小题主要考查不等式恒成立问题和函数的零点问题以及利用导数考查函数的单调性及最值问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力和转化问题的能力.
点评：不等式的恒成立问题往往转化为最值问题来解决，而函数零点问题往往转化为两函数图象的交点个数问题.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.