题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,BC=1,,E为PB中点.利用空间向量方法完成以下问题:
(1)求二面角E-AC-D的余弦值;
(2)在棱PD上是否存在点M,使得?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)在棱
上存在点
,使
,且
【解析】
(1)取的中点
,建立空间坐标系,分别求出平面
和
的法向量,再由二面角的向量公式即可求出;
(2)假设存在点,设出点
的坐标,由
三点共线得
,
,
可用表示出点
,再利用
,求出
,满足
即可,即得
的值.
(1)取的中点
,连结
,
.因为底面
为矩形,所以
.因为
,
,所以
∥
,所以
.
又因为平面PCD⊥平面ABCD,平面
平面PCD∩平面ABCD=CD.
所以PO⊥平面ABCD,
如图,建立空间直角坐标系,则
,
设平面的法向量为
,
所以令
,则
,所以
.
平面的法向量为
,则
.
如图可知二面角为钝角,所以二面角
的余弦值为
.
(2)在棱上存在点
,使
.设
,则
.
因为,所以
.
.因为
,所以
.
所以,解得
.
所以在棱上存在点
,使
,且
.
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