题目内容
【题目】如图,直三棱柱的所有棱长都是2,
,
分别是
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)取的中点
,连接
,以
为坐标原点,以
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,求得
,证得
,
,即可求解;
(2)由(1)得到,即为平面
的一个法向量,结合向量的夹角公式,即可求解;
(3)求得平面的法向量
,利用向量的夹角公式,即可求解.
(1)如图所示,取的中点
,连接
,
由直三棱柱的所有棱长都是2,
是
中点,
,
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,
所以平面
,
由分别为
的中点,可得
,可得
,
,
两两垂直.
以为坐标原点,以
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
可得,
,
∵,
,∴
,
,
又,∴
平面
.
(2)由(1)可得平面
,则
,即为平面
的一个法向量,
又由,
设直线与平面
所成的角为
,
可得,
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
(3)设平面的法向量
,
因为,可得
,即
,
不妨取,得
.
设二面角的平面角为
,
由,
所以二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公交公司为了方便市民出行、科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为研究车辆发车间隔时间(分钟)与乘客等候人数
(人)之间的关系,经过调查得到如下数据:
间隔时间 | ||||||
等候人数 |
调查小组先从这组数据中选取
组数据求线性回归方程,再用剩下的
组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数
,再求
与实际等候人数
的差,若差值的绝对值不超过
,则称所求线性回归方程是“恰当回归方程”.
(1)从这组数据中随机选取
组数据后,求剩下的
组数据的间隔时间之差大于
的概率;
(2)若选取的是后面组数据,求
关于
的线性回归方程
,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;
(3)在(2)的条件下,为了使等候的乘客不超过人,则间隔时间最多可以设置为多少分钟?(精确到整数)
参考公式:,
.