Question

15．椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程是（　　）

• A． x-2y=0
• B． x+2y=4
• C． 2x+3y=14
• D． x+2y=8

Answer 1

分析 利用点差法可求出直线的斜率，再用直线的点斜式求出方程即可．

解答 解：记被点（4，2）平分的弦为AB，
则x_A+x_B=8，y_A+y_B=4，
∵$\frac{{{x}_{A}}^{2}}{36}+\frac{{{y}_{A}}^{2}}{9}=1$，$\frac{{{x}_{B}}^{2}}{36}+\frac{{{y}_{B}}^{2}}{9}=1$，
∴$\frac{1}{36}$（${{x}_{A}}^{2}$-${{x}_{B}}^{2}$）=-$\frac{1}{9}$（${{y}_{A}}^{2}$-${{y}_{B}}^{2}$），
∴$\frac{1}{36}$•8•（x_A-x_B）=-$\frac{1}{9}$•4•（y_A-y_B），
整理得：$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=-$\frac{9}{4}$•$\frac{8}{36}$=-$\frac{1}{2}$，即直线AB的斜率为-$\frac{1}{2}$，
又∵直线AB过点（4，2），
∴直线AB方程为：y-2=$-\frac{1}{2}$（x-4），整理得：x+2y-8=0，
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查点差法，注意解题方法的积累，属于中档题．