Question

（2011•资中县模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n=2ⁿ；{b_n}为首项是2的等差数列，且b₃•S₅=372．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）设{b_n}的前n项和为T_n，求

1

T1

+

1

T2

+…

1

Tn

的值．

Answer 1

分析：（1）由a_n=2ⁿ，知{a_n}是首项为2公比为2的等比数列．由此能求出S₅，再由b₃•S₅=372，能求出b₃．由{b_n}为首项是2的等差数列，能求出b_n．
（2）由b_n，知Tn=

(2+2n)n

2

=n(n+1)，

1

Tn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由裂项求和法能求出

1

T1

+

1

T2

+…

1

Tn

=的值．

解答：解：（1）∵a_n=2ⁿ，
∴{a_n}是首项为2公比为2的等比数列．
∴S5=

2(1-25)

1-2

=26-2=62…（2分）
又∵b₃•S₅=372，
∴b₃=6，…（3分）
∵{b_n}为首项是2的等差数列．
∴b₃=2+2d=6，
∴d=2，…（4分）
∴b_n=2+2（n-1）=2n（n∈N^*）．…（6分）
（2）∵b_n=2n，
∴Tn=

(2+2n)n

2

=n(n+1)…（8分）
∴

1

Tn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（10分）
∴

1

T1

+

1

T2

+…

1

Tn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法和求数列的前n项和，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意裂项求和法的灵活运用．