题目内容
（2008•武汉模拟）已知a＞0，过M（a，0）任作一条直线交抛物线y2=2px（p＞0）于P，Q两点，若
+
为定值，则a=（ ）
| 1 |
| |MP|2 |
| 1 |
| |MQ|2 |
分析：利用直线的参数方程来求，先设直线PQ的参数方程，用参数表示P，Q两点的坐标，求MP，MQ的长度，再代入
+
，如为定值，则化简后与参数α无关，就可求出a的值．
| 1 |
| |MP|2 |
| 1 |
| |MQ|2 |
解答：解：设直线PQ的参数方程为x=a+tcosα，y=tsinα
则P，Q点的坐标分别为：（a+t1cosα，t1sinα），（a+t2cosα，t2sinα），
∴|MP|2=（a+t1cosα-a）2+（t1sinα）2=t12cos2α+t12sin2α=t12
|MQ|2=（a+t2cosα-a）2+（t2sinα）2=t22cos2α+t22sin2α=t22
又∵P，Q在抛物线y2=2px，
∴（t1sinα）2=2p（a+t1cosα）
（t2sinα）2=2p（a+t2cosα）
∴sin2αt12-2pcosαt1-2pa=0
sin2αt22-2pcosαt2-2pa=0
∴t1，t2是方程sin2αt2-2pcosαt-2pa=0的两根，
∴t1+t2=
，t1•t2=-
t12+t22=（t1+t2）2-2t1t2=
∵
+
=
+
=
=
=
为定植，∴a=p
故选D
则P，Q点的坐标分别为：（a+t1cosα，t1sinα），（a+t2cosα，t2sinα），
∴|MP|2=（a+t1cosα-a）2+（t1sinα）2=t12cos2α+t12sin2α=t12
|MQ|2=（a+t2cosα-a）2+（t2sinα）2=t22cos2α+t22sin2α=t22
又∵P，Q在抛物线y2=2px，
∴（t1sinα）2=2p（a+t1cosα）
（t2sinα）2=2p（a+t2cosα）
∴sin2αt12-2pcosαt1-2pa=0
sin2αt22-2pcosαt2-2pa=0
∴t1，t2是方程sin2αt2-2pcosαt-2pa=0的两根，
∴t1+t2=
| 2pcosα |
| sin2α |
| 2pa |
| sin2α |
t12+t22=（t1+t2）2-2t1t2=
| 4(p2cos2α +pasin2α) |
| sin4α |
∵
| 1 |
| |MP|2 |
| 1 |
| |MQ|2 |
| 1 |
| t12 |
| 1 |
| t22 |
| t1+t2 |
| (t1•t2)2 |
=
| ||
(
|
| pcos2α+asin2α |
| pa2 |
故选D
点评：本题主要考查了利用直线的参数方程判断直线与抛物线的位置关系，属于较难题目．
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