题目内容

(2008•武汉模拟)已知P为椭圆
x2
4
+y2=1
和双曲线x2-
y2
2
=1
的一个交点,F1,F2为椭圆的焦点,那么∠F1PF2的余弦值为
-
1
3
-
1
3
分析:由椭圆和双曲线方程,可知两条圆锥曲线共焦点,P为椭圆与双曲线的交点,根据椭圆与双曲线的定义,可求出P到
F1,F2距离,在三角形PF1F2中,应用余弦定理,就可求出∠F1PF2的余弦值.
解答:解:∵椭圆
x2
4
+y2=1
,∴椭圆中c=
3

∵双曲线x2-
y2
2
=1
,∴双曲线中c=
3
,∴椭圆与双曲线共焦点,
∵P为椭圆
x2
4
+y2=1
和双曲线x2-
y2
2
=1
的一个交点,不妨设P点在双曲线右支上,
∴|PF1|+|PF2|=4,|PF1|-|PF2|=2,∴∴|PF1|=3,∴|PF2|=1,|F1F2|=2
3

在△F1PF2中,cos∠F1PF2=
32+12-(2
3
)
2
2×3×1
=-
1
3

故答案为-
1
3
点评:本题主要考查了椭圆与双曲线的定义和性质,以及焦点三角形中,余弦定理的考查,属于常规题.
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