题目内容
(2008•武汉模拟)已知P为椭圆
+y2=1和双曲线x2-
=1的一个交点,F1,F2为椭圆的焦点,那么∠F1PF2的余弦值为
x2 |
4 |
y2 |
2 |
-
1 |
3 |
-
.1 |
3 |
分析:由椭圆和双曲线方程,可知两条圆锥曲线共焦点,P为椭圆与双曲线的交点,根据椭圆与双曲线的定义,可求出P到
F1,F2距离,在三角形PF1F2中,应用余弦定理,就可求出∠F1PF2的余弦值.
F1,F2距离,在三角形PF1F2中,应用余弦定理,就可求出∠F1PF2的余弦值.
解答:解:∵椭圆
+y2=1,∴椭圆中c=
,
∵双曲线x2-
=1,∴双曲线中c=
,∴椭圆与双曲线共焦点,
∵P为椭圆
+y2=1和双曲线x2-
=1的一个交点,不妨设P点在双曲线右支上,
∴|PF1|+|PF2|=4,|PF1|-|PF2|=2,∴∴|PF1|=3,∴|PF2|=1,|F1F2|=2
在△F1PF2中,cos∠F1PF2=
=-
故答案为-
x2 |
4 |
3 |
∵双曲线x2-
y2 |
2 |
3 |
∵P为椭圆
x2 |
4 |
y2 |
2 |
∴|PF1|+|PF2|=4,|PF1|-|PF2|=2,∴∴|PF1|=3,∴|PF2|=1,|F1F2|=2
3 |
在△F1PF2中,cos∠F1PF2=
32+12-(2
| ||
2×3×1 |
1 |
3 |
故答案为-
1 |
3 |
点评:本题主要考查了椭圆与双曲线的定义和性质,以及焦点三角形中,余弦定理的考查,属于常规题.
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