Question

【题目】如图,已知一个八面体的各条棱长为1,四边形ABCD为正方形,下列说法

①该八面体的体积为;

②该八面体的外接球的表面积为;

③E到平面ADF的距离为;

④EC与BF所成角为60°;

其中不正确的个数为

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】C

【解析】

由题意可得该八面体为正八面体，即底面为正方形的两个正四棱锥连接而成，由棱锥的体积，可判断①；推得球心即为正方形的中心，求得半径，由球的表面积公式，计算可判断②；

由体积转化法，即VB﹣ADF＝VF﹣ABD，计算可判断③；由异面直线所成角的定义，即可判断④．

解：因为八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，

可得该八面体为正八面体，E到平面ABCD的距离为，

即有八面体的体积为21，故①错误；

由正方形ABCD的中心到点A，B，C，D，E，F的距离相等，且为，

可得该八面体的外接球的球心为正方形ABCD的中心，半径为，

表面积为4π2π，故②正确；

由正八面体的特点可得四边形EDFB为正方形，由EB∥DF，可得EB∥平面ADF，

B到平面ADF的距离，设为d，即为E到平面ADF的距离，由VB﹣ADF＝VF﹣ABD，

可得h，可得h，故③错误；

由四边形EDFB为正方形，可得BF∥ED，DE与EC所成角即为EC与BF所成角，

可得三角形CDE为等边三角形，可得EC与BF所成角为60°，故④正确．

其中错误的个数为2．

故选：C．