Question

20．直线l过点P（1，1），倾斜角α=$\frac{π}{6}$，
（1）求直线l的参数方程；
（2）若直线l与曲线：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）相交于A，B两点，求|AB|及|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）根据直线l过点P，倾斜角为$\frac{π}{6}$，写出它的参数方程即可；
（2）把曲线C的参数方程化为普通方程，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，再由根与系数的关系，求出|AB|与|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）∵直线l过点P（1，1），倾斜角α=$\frac{π}{6}$，
∴直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=1+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）；
（2）曲线C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）化为普通方程是
x²+y²=4，
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，
整理得t²+（$\sqrt{3}$+1）t-2=0；
由根与系数的关系，得
$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}{+t}_{2}=-（\sqrt{3}+1）}\\{{t}_{1}{•t}_{2}=-2}\end{array}\right.$；
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{{{（t}_{1}{+t}_{2}）}^{2}-{{4t}_{1}t}_{2}}$=$\sqrt{12+2\sqrt{3}}$，
|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|-2|=2．

点评 本题考查了参数方程的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是基础题目．