题目内容

已知α为锐角且tan(
π
4
+α)=2

(1)求tanα的值;
(2)求
2
sin(2α+
π
4
)cosα-sinα
cos2α
的值.
分析:(1)利用两角和的正切公式,结合题意解关于tanα的方程,即可得tanα的值;
(2)根据二倍角的三角函数公式,将原式化简可得原式等于cosα+sinα.再由同角三角函数的关系,结合(1)的结论加以计算,即可算出原式的值.
解答:解:(1)∵tan(
π
4
+α)=2

tan
π
4
+tanα
1-tan
π
4
tanα
=2
,即
1+tanα
1-tanα
=2

解之得tanα=
1
3

(2)
2
sin(2α+
π
4
)cosα-sinα
cos2α

=
cosα(sin2α+cos2α)-sinα
cos2α-sin2α
=
2co s2αsinα+cos2αcosα-sinα
cos2α-sin2α

=
cos2α(cosα+sinα)
cos2α-sin2α
=cosα+sinα
∵知α为锐角且tanα=
1
3

∴sinα=
10
10
,cosα=
3
10
10
,可得cosα+sinα=
2
5
10
点评:本题已知tan(
π
4
+α)=2
,求tanα并求三角函数式的值,着重考查了同角三角函数基本关系和二倍角的正弦、余弦公式等知识,属于中档题.
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