Question

已知二次函数f（x）满足：①当x=1时有极值；②图象与y轴交点的纵坐标为﹣3，且在该点处的切线与直线x=2y﹣4垂直．
（1）求f（1）的值；
（2）若函数g（x）=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一点处的切线斜率恒大于a²﹣a﹣2，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）-4；（II）0≤a≤1．

解析试题分析：（1）由已知可利用待定系数法，首先设二次函数f（x）的解析式为：f（x）=ax²+bx+c，，结合已知的两个条件及导数的几何意义，求出f（x）的表达式，从而可求f（1）的值；
（2）首先求出g（x）的表达式，利用导数求出切线斜率，结合一元二次不等式的解法即可得到结论．
试题解析：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，
∵x=1时有极值，∴对称轴为1，即，
由②知f（0）=c=-3，在（0，-3）处的切线斜率，
又在该点处的切线与直线x=2y-4垂直，故b=-2，
解得a=1，则f（x）=x²-2x-3，
则f（1）=-4；
（2）若函数g（x）=f（lnx）=（lnx）²-2lnx-3，
令t=lnx，
则∵x∈（1，+∞），∴t∈（0，+∞），
∴f（t）=t2-2t-3，f′（t）=2t-2＞-2，
若函数g（x）=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一点处的切线斜率恒大于a²-a-2，
则f′（t）＞a2-a-2恒成立，即a2-a-2≤-2，
即a2-a≤0，解得0≤a≤1．
考点：１．二次函数的图象和性质；2．导数的几何意义．