Question

17．已知数列{a_n}满足a_n +a_n+1 =$\frac{1}{2}$•（-1）ⁿ⁺¹（n∈N^*），a₁=-$\frac{1}{2}$，S_n是数列{a_n}的前n项和．则S₂₀₁₅=-504．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a_n +a_n+1 =$\frac{1}{2}$•（-1）ⁿ⁺¹（n∈N^*），a₁=-$\frac{1}{2}$，可得a₂=1，a₃=-$\frac{3}{2}$，…，猜想a_n=$（-1）^{n}×\frac{n}{2}$，验证成立．当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n），即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n +a_n+1 =$\frac{1}{2}$•（-1）ⁿ⁺¹（n∈N^*），a₁=-$\frac{1}{2}$，
∴a₂=1，a₃=-$\frac{3}{2}$，…，
猜想a_n=$（-1）^{n}×\frac{n}{2}$，于是a_n+1=$（-1）^{n+1}×\frac{n+1}{2}$．
代入验证满足：a_n +a_n+1 =$\frac{1}{2}$•（-1）ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
∴a_n=$（-1）^{n}×\frac{n}{2}$，
∴当n为奇数时，
S_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）
=$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$-…-$\frac{1}{2}$
=$（\frac{n-1}{2}+1）$×$（-\frac{1}{2}）$
=-$\frac{n+1}{4}$．
∴S₂₀₁₅=-$\frac{2015+1}{4}$=-504．
故答案为：-504．

点评 本题考查了猜想归纳验证能力及其推理能力与计算能力，属于中档题．