Question

11．设等差数列{a_n}的首项为1，公差为d（d∈N^*），m为数列{a_n}中的项．
（1）若d=3，试判断${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展开式中是否含有常数项，并说明理由；
（2）求证：存在无穷多个d，使得对每一个m，${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展开式中均不含常数项．

Answer 1

分析 （1）写出{a_n}的通项公式a_n，假设${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展开式中存在常数项第r+1项，利用m是数列{a_n}中的项，求出n与r的关系，从而判断假设是否成立，即展开式中是否含常数项；
（2）根据题意，只需证明a_n=m=1+（n-1）d中对每一个m，${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展开式中均不含常数项，即对于n∈N^*，满足1+（n-1）d=$\frac{3}{2}r$中的r无自然数解即可．

解答 解：（1）因为{a_n}是首项为1，公差为d=3的等差数列，
所以a_n=1+3（n-1）=3n-2；
假设${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展开式中的第r+1项为常数项（r∈N），
${T_{r+1}}=C_m^r{x^{m-r}}{（\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^r}=C_m^r{x^{m-\frac{3}{2}r}}$，
于是$m=\frac{3}{2}r$；
因为m为数列{a_n}中的项．
所以设m=3n-2（n∈N*），
则有$3n-2=\frac{3}{2}r$，
即$r=2n-\frac{4}{3}$，这与r∈N矛盾；
所以假设不成立，
即${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展开式中不含常数项；
（2）证明：由题设知a_n=1+（n-1）d，
设m=1+（n-1）d，
由（1）知，要使对每一个m，${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展开式中均不含常数项，
必须有对于n∈N^*，满足1+（n-1）d=$\frac{3}{2}r$中的r无自然数解，
即$r=\frac{2d}{3}（n-1）+\frac{2}{3}∉N$；
当d=3k（k∈N^*）时，$r=2k（n-1）+\frac{2}{3}∉N$．
故存在无穷多个d，满足对每一个m，${（{x+\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^m}$的展开式中均不含常数项．

点评 本题考查了等差数列的应用问题，也考查了二项式定理的应用问题，是综合性题目．