Question

1．若f（x+1）为偶函数，且在[0，+∞）为减函数，则函数f（x）图象的对称轴为x=1，若实数a满足f（a-1）＜f（2a），则实数a∈[$\frac{1}{2}$，3）∪（-∞，-1）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质，利用平移法即可求出函数的对称轴，讨论变量的范围，结合函数对称性和单调性的性质进行求解即可．

解答 解：若f（x+1）为偶函数，
则f（x+1）关于x=0对称，
将f（x+1）向右平移1个单位得到f（x），即函数f（x）关于x=1对称，
则f（x）的对称轴为x=1，
若f（x+1）在[0，+∞）为减函数，则f（x）在[1，+∞）为减函数，
在（-∞，1]上是增函数．
则①若a-1≤1，2a≤1，则a-1＞2a，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≤\frac{1}{2}}\\{a＜-1}\end{array}\right.$，解得a＜-1，
②若a-1≤1，2a≥1，
则f（2a）=f（2-2a），
则不等式等价为f（a-1）＜f（2-2a），
此时a-1＜2-2a，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≥\frac{1}{2}}\\{a＜3}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$≤a≤2，
③若a-1≥1，2a≤1，
则f（2a）=f（2-2a），
则不等式等价为f（a-1）＜f（2-2a），
此时a-1＞2-2a，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≤\frac{1}{2}}\\{a＞3}\end{array}\right.$，此时无解．
④若a-1≥1，2a≥1，
此时a-1＞2-2a，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≥\frac{1}{2}}\\{a＜3}\end{array}\right.$，解得2≤a＜3，
综上$\frac{1}{2}$≤a＜3或a＜-1，
故答案为：x=1，[$\frac{1}{2}$，3）∪（-∞，-1）

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查函数性质的综合应用．